微積でスッキリ！電磁誘導で発生した熱は一体どこからやってくるの？

微積でスッキリ解ける！物理のジュール熱を“積分”で考えてみよう

高校物理では「微積を使わないで説明する」という方針のもと、教科書がつくられています。これは数学の進度の関係もあり、生徒が“まだ積分を習っていない”ことが前提になっているからですね。でも、物理って実は「微積があればもっとわかりやすい」と感じる場面がたくさんあるんです。

このコーナーでは、「微積を使うと理解しやすい！」そんな物理の場面を一つずつ掘り下げていこうと思います。

今回は前回求めたコの字型回路で、速度が初速度v₀から止まる(v=0)になるまでに、

　電流が回路に流れることによって、抵抗から発生するジュール熱がどこからやってきたのかについて考えてみましょう。

■ ジュール熱はどこから？

まず、考えてほしいのはこれ。

「回路に流れる電流によって発生したジュール熱って、一体どこからやって来たの？」

高校物理の教科書では、エネルギー保存の視点からこの問題を解きます。でも今回は、微積を用いて“積分で求めてみる”ことにチャレンジしてみましょう。

■ 微積でジュール熱を求めるプロセス

ジュール熱Qは、電力×時間で求められます。

Q = Pt

ジュール熱Q＝電力×時間

ここで、P（電力）は時間とともに変化するので、積分が必要になります。

ただし今回の場合は、電力P自体も変化していきますので、時間で積分をする必要がでてきます。電力P＝IVについては、IとVはコの字型回路の場合、どちらも変化していくので、一定のものである抵抗値Rで置き換えを行います（オームの法則V=IR）。

P=RI²

　コの字型回路に流れる電流はI=Blv/Rなので、

　となります。ここで、前回のある時刻の速度は次の式で示されるので、

　これを先ほどの式に代入すると、

　これを時刻０から時刻∞まで積み上げて積分をすれば、熱量Qを求めることができます。計算をしてみましょう。

　ここで、y=e^−xについて、ｘを∞にするとｙ＝0、またｘを０にするとｙ＝１になるので、同様に考えれば、

「微積って難しそう…」という生徒も、こうして“意味のある使い方”を経験することで、少しずつ慣れていきます。今回は0から∞まで積分しましたが、「ある時刻tまでの熱量は？」という問いにしてみると、さらに広がりますね。このシリーズでは、他の物理項目もどんどん微積でスッキリさせていきます。どうぞお楽しみに！

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