コの字型回路と減速運動の美しい関係（高校物理と微積分）

サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。

今回は、物理好きの先生方にぜひ味わってほしい「微積分を使って高校物理をより深く理解するシリーズ」をお届けします。高校物理の教科書では数学の進度との兼ね合いもあり、微積を避けて力学や電磁気を説明する場面が多くあります。しかし、物理という学問は本来、微積と相性抜群。式がシンプルになったり、現象の裏側まで見えてきたり、むしろその本質が際立つ場面も少なくありません。

このシリーズでは、 「ここは微積で考えるとスッキリする！」 というテーマを取り上げ、少しだけ高校物理のその先をご紹介していきます。

■ テーマ：コの字型回路 × 微積分

今回は、入試や定期テストでも定番の「コの字型回路」に導体棒をのせ、初速度を与えたときにどうなるか？を微積を使って解析していきます。

◆ 実験設定

• 水平なコの字型導体レール（抵抗 R）
• 一様な磁場 B（紙面に垂直に奥向き）
• レールに接して動ける導体棒（長さ L、質量 m）
• 時刻 t = 0 に導体棒に初速度 v₀ を与える

このとき、導体棒が磁場を横切ることにより起電力が発生し、回路に誘導電流が流れます。その電流と磁場の相互作用により、導体棒にはローレンツ力が働き、次第に減速していきます。

■ 微積で導体棒の速度変化を解析！

それでは、導体棒の速度 v(t) が時間とともにどのように変化するかを、微分方程式で導いてみましょう。

① 誘導起電力の式：

導体棒に発生する誘導起電力 V は、

V = B L v

 

② 回路に流れる電流 I：

オームの法則より、

I = V / R = B L v / R

③ 棒が受ける力 F：

この電流が磁場から受ける力（ローレンツ力）は、

F = I L B = (B² L² v) / R

これは導体棒の運動を妨げる向きに働くため、運動方程式は次のようになります：

④ 微分方程式を解く：

変数分離して、両辺を積分すると、

この微分方程式を解いていきましょう。変数分離をして、

両辺を時間ｔで積分します。

ここでe^○をexp○と表記をすると、

となります。表記の問題なので、あまり気にしないでくださいね。時刻０のとき速度をv₀とすると、積分定数e^Cはv₀となります。このことから、

となります。

■ 結果とグラフのイメージ

この式からわかるように、導体棒の速度は時間とともに指数関数的に減少します。つまり、初めは速いけれど、次第にその速度は緩やかになっていき、理論的には無限の時間をかけて止まる――という運動になります。

■ 授業での活用ポイント

• 「止まる」ではなく「指数関数的に減速する」ことの意味を視覚化できる

• 電流の大きさや起電力の変化が、棒の速度と密接に関係していることが理解できる

• 数学的に自然に導ける形が出てくるので、高校数学との橋渡しにもなる

 

お問い合わせ・ご依頼について

科学の不思議やおもしろさをもっと身近に！自宅でできる楽しい科学実験や、そのコツをわかりやすくまとめています。いろいろ検索してみてください！
・運営者・桑子研についてはこちら
・各種ご依頼（執筆・講演・実験教室・TV監修・出演など）はこちら
・記事の更新情報はXで配信中！

科学のネタチャンネルでは実験動画を配信中！

５月のイチオシ実験！

キーンと冷えるドライアイス！気温が上がってくるこの時期・ドライアイスを使った昇華・凝結・等速度直線運動の実験はいかが？

液体ゼロ！ドライアイスが消えるまでの３時間を科学する（昇華・凝結・等速度直線運動）

テレビ番組監修・イベント等のお知らせ

• 4月30日（木）「THE突破ファイル」（日本テレビ）の科学監修を担当しました。
• 5月8日（金）理科教育ニュースを担当しました。
• 6月14日（日）　千葉大学インスタレーション「探究」にて講師を務めます
• 6月26日（金）　千葉大学の公開研究会（中学理科について授業公開予定）
• 7月18日（土）　教員向け実験講習会「ナリカカサイエンスアカデミー」の講師をします。お会いしましょう。

書籍のお知らせ

• 『大人のための高校物理復習帳』（講談社）…一般向けに日常の物理について公式を元に紐解きました。特設サイトでは実験を多数紹介しています。※増刷がかかり６刷となりました（2026/02/01）
  
  
• 『きめる!共通テスト 物理基礎 改訂版』（学研）…　高校物理の参考書です。イラストを多くしてイメージが持てるように描きました。授業についていけない、物理が苦手、そんな生徒におすすめです。特設サイトはこちら。
  

各種SNS（更新情報をお届け！）

X(Twitter)／instagram／Facebook（日本語）

BlueSky／Threads（英語）

Explore

• 楽しい実験…お子さんと一緒に夢中になれるイチオシの科学実験を多数紹介しています。また、高校物理の理解を深めるための動画教材も用意しました。
• 理科の教材… 理科教師をバックアップ！授業の質を高め、準備を効率化するための選りすぐりの教材を紹介しています。
• Youtube…科学実験等の動画を配信しています。
• 科学ラジオ …科学トピックをほぼ毎日配信中！AI技術を駆使して作成した「耳で楽しむ科学」をお届けします。
• 講演 …全国各地で実験講習会・サイエンスショー等を行っています。
• About …「科学のネタ帳」のコンセプトや、運営者である桑子研のプロフィール・想いをまとめています。
• お問い合わせ …実験教室のご依頼、執筆・講演の相談、科学監修等はこちらのフォームからお寄せください。