コの字型回路と減速運動の美しい関係（高校物理と微積分）

今回は、物理好きの先生方にぜひ味わってほしい「微積分を使って高校物理をより深く理解するシリーズ」をお届けします。高校物理の教科書では数学の進度との兼ね合いもあり、微積を避けて力学や電磁気を説明する場面が多くあります。しかし、物理という学問は本来、微積と相性抜群。式がシンプルになったり、現象の裏側まで見えてきたり、むしろその本質が際立つ場面も少なくありません。

このシリーズでは、**「ここは微積で考えるとスッキリする！」**というテーマを取り上げ、少しだけ高校物理のその先をご紹介していきます。

■ テーマ：コの字型回路 × 微積分

今回は、入試や定期テストでも定番の「コの字型回路」に導体棒をのせ、初速度を与えたときにどうなるか？を微積を使って解析していきます。

◆ 実験設定

• 水平なコの字型導体レール（抵抗 R）
• 一様な磁場 B（紙面に垂直に奥向き）
• レールに接して動ける導体棒（長さ L、質量 m）
• 時刻 t = 0 に導体棒に初速度 v₀ を与える

このとき、導体棒が磁場を横切ることにより起電力が発生し、回路に誘導電流が流れます。その電流と磁場の相互作用により、導体棒にはローレンツ力が働き、次第に減速していきます。

■ 微積で導体棒の速度変化を解析！

それでは、導体棒の速度 v(t) が時間とともにどのように変化するかを、微分方程式で導いてみましょう。

① 誘導起電力の式：

導体棒に発生する誘導起電力 V は、

V = B L v

 

② 回路に流れる電流 I：

オームの法則より、

I = V / R = B L v / R

③ 棒が受ける力 F：

この電流が磁場から受ける力（ローレンツ力）は、

F = I L B = (B² L² v) / R

これは導体棒の運動を妨げる向きに働くため、運動方程式は次のようになります：

④ 微分方程式を解く：

変数分離して、両辺を積分すると、

この微分方程式を解いていきましょう。変数分離をして、

両辺を時間ｔで積分します。

ここでe^○をexp○と表記をすると、

となります。表記の問題なので、あまり気にしないでくださいね。時刻０のとき速度をv₀とすると、積分定数e^Cはv₀となります。このことから、

となります。

■ 結果とグラフのイメージ

この式からわかるように、導体棒の速度は時間とともに指数関数的に減少します。つまり、初めは速いけれど、次第にその速度は緩やかになっていき、理論的には無限の時間をかけて止まる――という運動になります。

■ 授業での活用ポイント

• 「止まる」ではなく「指数関数的に減速する」ことの意味を視覚化できる

• 電流の大きさや起電力の変化が、棒の速度と密接に関係していることが理解できる

• 数学的に自然に導ける形が出てくるので、高校数学との橋渡しにもなる

 

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