力・質量・加速度の関係をグラフで一発解明！運動の第2法則を実験で導き出す

サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。

「高校物理でもっとも大切な数式は何ですか？」

そう問われたら、皆さんは何と答えるでしょうか？アインシュタインの相対性理論を象徴するあの式や、エネルギー保存の法則を示す式など、様々な意見があるかもしれません。しかし、多くの物理学者が「これぞ！」と挙げるのは、やはり運動方程式 $F=ma$ ではないでしょうか。たった3文字。しかしこのシンプルな式の中に、ボールの放物線も、車の加速も、ロケットが宇宙へ飛び立つ瞬間も、すべて詰まっています。「知っている」と「体感している」は、まったく別物です。今回は、この運動方程式を生徒たちが自分の手で導き出す実験をご紹介します。

実験の目的：質量・加速度・力の関係を探る

この実験の目的は、物体に働く力 (F)、物体の質量 (m)、そして物体の加速度 (a) の間にどのような関係があるのかを、データに基づいて明らかにすることです。最終的には、あの有名な運動方程式 $F=ma$ を、自分たちの手で導き出すことを目指します。公式を「与えられる」のではなく、「発見する」喜びを味わってもらいましょう。

授業準備：実験を成功させるためのヒント

この実験では、定力装置という実験器具を使います。定力装置は、その名の通り、静止している物体も運動している物体も、常に一定の力で引っ張り続けることができる優れものです。手で引っ張る実験では、どうしても力の加減が不安定になりがちですが、定力装置を使えば、生徒のテクニックに左右されず、安定した結果を得ることができます。

定力装置には通常、2本のワイヤーが付いています。例えば、「定力装置 DJ-0461」の場合、上のワイヤーが約 $0.49\text{N}$（約50gの重さ）、下のワイヤーが約 $0.98\text{N}$（約100gの重さ）で物体を引いてくれます。実際にばねばかりで確認してみると、多少のばらつきはありますが、おおよそこれらの力で常に引いてくれることが確認できます。

定力装置 DJ-0461

「定力装置はちょっと高価で…」と感じる先生もいらっしゃるかもしれません。1万円程度するので、個人での購入はハードルが高いですよね。しかし、学校の予算で各班に1台ずつ導入できれば、実験の精度は格段に上がります。力学台車をばねばかりで一定の力を保ちながら引く方法でも実験は可能ですが、より正確で再現性の高い結果を求めるなら、定力装置の導入をぜひ検討してみてください。

スピードメーター2台が生み出す「魔法」

理科の実験でおなじみの速度測定器「ビースピ（Bee-Spi）」。「ビースピ」とは、光電センサーを使って物体の通過時刻を計測し、そのデータから速度を算出してくれる便利な装置です。

通常は通り抜けるものの速さを測る道具ですが、実はこれを2台並べて使うことで、物体の「勢いの増し方」である加速度を正確に求めることができます。やり方はとてもシンプルです。2台のビースピの距離をあらかじめ測って固定しておき、台車の先端に「割り箸」を取り付けます。この割り箸が2つのビースピを順番に通り抜けるようにすることで、最初のビースピで初速度が、2台目のビースピで後の速度が測定されます。そこからこちらの式
に当てはめることで、目には見えない加速度を計算で求めることができるのです。実際の実験の様子はこちらの動画をご覧ください。

科学のレシピ：準備と手順

さあ、具体的な実験の準備と手順を見ていきましょう。
準備するもの

• 定力装置: 定力装置 DJ-0461（ワイヤーの引く力は製品によって異なりますので、ご使用の装置でご確認ください）
• 力学台車
• ビースピ（簡易速度計測器）: 2台（例: BeeSpi V）
• 1mの定規: 測定区間の設定に
• 割り箸
• 油粘土: 質量を加えるため（例: $500\text{g}$ の塊を3個）
• 電子天秤: 油粘土の質量を正確に測るため
• ニュートンばねばかり: $2\text{N}$ 程度まで測れるもの（定力装置の引く力の確認用）
• 電卓: 加速度の計算用
• ビニールテープ: 部品の固定用

実験方法

1. ニュートンばねばかりの準備: ばねばかりを横にして持ち、赤い指針が $0\text{N}$ を示すように調整します。
2. 定力装置の引く力の確認: 定力装置のワイヤーの引く力を、ばねばかりで実際に測定しておきましょう。上・下それぞれのワイヤーについて記録します。この数値は、後の考察で非常に重要になります。
   • 上のワイヤー: $()\text{N}$
   • 下のワイヤー: $()\text{N}$
3. 力学台車の準備: 力学台車に割り箸をビニールテープで固定します。この割り箸がビースピのセンサーを通過し、定力装置のワイヤーのフックをかける役割も担います（下図参照）。

1. 実験条件の設定とデータの取得: 次の①～⑦の条件で力学台車を動かしながら、2つのビースピで測定した速度と、その間の距離を使って加速度を求めます。加速度は等加速度運動の公式 v2−v02​=2ax を利用して算出します。なお、力学台車自体の質量は $1.0\text{kg}$ とします。
   • ① 実験なし: 比較対象として。
   • ② おもりなしで、上のワイヤーのみで引っ張る。
   • ③ おもりなしで、下のワイヤーのみで引っ張る。
   • ④ おもりなしで、上と下のワイヤー両方を引っかけて引っ張る。
   • ⑤ 台車に $500\text{g}$ のおもりをのせて、下のワイヤーのみで引っ張る。
   • ⑥ 台車に $1000\text{g}$ のおもりをのせて、下のワイヤーのみで引っ張る。
   • ⑦ 台車に $1500\text{g}$ のおもりをのせて、下のワイヤーのみで引っ張る。

実験のまとめと考察：グラフから法則を見つけよう！

実験データが得られたら、いよいよその関係性をグラフで視覚化し、考察を深めていきます。

• a-F グラフの作成: ①～④のデータを使って、加速度 a を縦軸、引く力 F を横軸とするグラフを作成します。引く力と加速度の間にはどのような関係があるかが見えてくるはずです。
• a-m グラフの作成: ③⑤⑥⑦のデータを使って、加速度 a を縦軸、質量 m を横軸とするグラフを作成します。質量と加速度の間の関係が浮かび上がってきます。
• a-1/m グラフの作成: さらに③⑤⑥⑦のデータから、加速度 a を縦軸、質量 m の逆数 1/m を横軸とするグラフを作成します。このグラフを作成することで、ある重要な関係性が姿を現します。

実際にこの実験を行ってみると、次のような興味深い結果が得られるでしょう。

• a-F グラフからは、引く力と加速度にきれいな比例関係があることがわかります。力を2倍にすれば、加速度も2倍になります。
• a-m グラフを見ると、反比例の関係があることがわかります。同じ力で引っ張っても、質量が大きくなるほど加速しにくくなることを意味しています。
• そしてa-1/m グラフを作成してみると、驚くほど美しい比例関係が見て取れます。

これらの結果を総合すると、

F=kma​

となります。ここで $k$ は比例定数です。1kgの物体を1m/s²で加速させるのに必要な力をF=1と定義すると、kは1となり、最終的にあの有名な運動方程式 $F=ma$ が導き出されるのです。

そしてこのときの力の単位を「ニュートン（N）」と定義しているという説明までつなげることができれば、生徒たちは「力」という概念がどのように定義されているのかを深く理解できるでしょう。

ストロボ写真で「運動」を目で見る

物体に瞬間的に力を加えた場合と、一定の力を加え続けた場合では、どのような運動の違いが生まれるのでしょうか？その違いをストロボ写真で撮影してみました。こちらの動画をご覧ください。

上が等速度直線運動、下が加速度運動をしているのが一目でわかります。同じ「動いている」でも、力のかけ方ひとつで運動の姿がまったく変わる。その違いを「見える化」できるのが、この実験の醍醐味です。

この実験を通じて、生徒たちは単に公式を暗記するのではなく、その背景にある物理法則を自らの手で探求し、導き出す喜びを味わうことができます。ぜひ皆さんの授業に取り入れてみてください。きっと生徒たちの物理への興味・関心を一層引き出すことができるはずです。

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