高校物理の壁を超える！微積分で迫る単振動の真髄（高校物理と微積分）

サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。

ここでdx/dt=v, d²x/dt²=dv/dtなので、

両辺を時間で積分すると、

※Cは積分定数

このようになります。これは力学的エネルギーの保存を示していて、運動エネルギーと弾性エネルギーの和が一定であることを示しています。

運動エネルギー＋弾性エネルギー＝一定

　ここでバネの振幅をAとすると、上記の積分定数Cは1/2kA²と表しても良いですよね。

この式をさらにおしすすめて、ここから変位ｘの様子について調べてみましょう。

まずは速度ｖについて常識を展開します。

速度ｖを微分表記dx/dtになおして、変数分離をします。

この式の両辺を時間ｔで積分をします。

このまま眺めていてもうまくいかないのですが、ここで変位ｘをx=Asinθと置いてみましょう。すると、この微分方程式をとくことができます。

では置いて解いてみましょう。

＜左辺＞

まず左辺の1/(√A²−x²)の部分は次のようになります。

ここでx=Asinθに置き換えると、

ここでは、次の積分公式を使っています。これらの公式は昨日の記事にまとめましたので、もし公式を忘れてしまったという人は、そちらも御覧ください。

上の式を解いていくと、

となります。

＜左辺と右辺を合わせてみる＞

右辺と合わせて考えると、

※δは積分定数

　となります。このことから、先ほどおいたｘ=Asinθに代入をすると、

ここでAsin（θ+δ）=Asin(−θ+δ+π)となり、δ+πは定数なので積分定数δ’に入れてしまうことができます。このことから、頭についている±や√の手前についている±を積分定数の中に入れてしまうと、もっと簡単に上の式を表すことができます。

※δ’は積分定数

　この式を見ると、Aは振幅を、δ’は初期位相を示し、時刻０のときの右辺が初期位置x₀となります。この式をグラフにすると、

となります。このようにして単振動となることが示されました。

＜周期の公式についても求めてみよう！＞

また１回振動するのにかかる時間を周期Tとすると、１周期たつと２πとなることから、

と表すことができます。これを周期Tについて解くと、

となります。単振動の速度は、上記の式を時間で微分すれば、加速度はもう一度微分すれば求めることができます。

いかがでしたでしょうか？学校では微積分を使わない方法で単振動を解きますが、微積分を使って解くと、初期位相が自然に出てきたり、力学的エネルギー保存の法則との繋がりが明確になったり、より深い理解に繋がったのではないでしょうか。

今回の内容を授業で扱う際には、いきなり全ての微積分を見せるのではなく、「なぜ単振動になるのか、もう少し深く考えてみよう」という導入から、段階的に説明していくのがおすすめです。生徒の数学の進度に合わせて、どの部分を重点的に説明するか調整してみてくださいね。

次回は、今回の結果を使って、鉛直につるしたばね振り子や 電気振動（LC回路） など、他の物理現象への応用についても考えていきたいと思います。お楽しみに！

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