微積で発見!電磁誘導で発生した熱は一体どこからやってくるの?


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 高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回は前回求めたコの字型回路で、速度が初速度v0から止まる(v=0)になるまでに、

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 電流が回路に流れることによって、抵抗から発生するジュール熱がどこからやってきたのかについて考えてみましょう。

ジュール熱はどこからやってきたと思いますか?

計算する前に、考えてみてください。高校物理だと、エネルギーの保存からかんがえて、解いていくことになるのかなと思います。高校物理では、微積を使って求めることはありませんが、どのようになるのかを今回は前回の答えを使いながら、微積を使って求めてみましょう。

まず時刻0からある時刻tまでに抵抗から発生する熱は、ある時刻の電力を時間で積み上げていけば求めることができます。

Q = Pt

ジュール熱Q=電力×時間

 ただし今回の場合は、電力P自体も変化していきますので、時間で積分をする必要がでてきます。電力P=IVについては、IとVはコの字型回路の場合、どちらも変化していくので、一定のものである抵抗値Rで置き換えを行います(オームの法則V=IR)。

P=RI2

 コの字型回路に流れる電流はI=Blv/Rなので、

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 となります。ここで、前回のある時刻の速度は次の式で示されるので、

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 これを先ほどの式に代入すると、

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 これを時刻0から時刻∞まで積み上げて積分をすれば、熱量Qを求めることができます。計算をしてみましょう。

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 ここで、y=e−xについて、xを∞にするとy=0、またxを0にするとy=1になるので、同様に考えれば、

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 となります。よって、左辺の導体棒が止まった時に抵抗から発生する熱は、右辺のはじめに導体棒がもっていた運動エネルギーからきていたことがわかります。

いかがでしたでしょうか(^^)。

今までの物理の問題であれば、微積をしないで求めたとは思いますが、微積を使っても同じ答えになることがわかります。ぜひある時刻tではどうなのか?についても考えてみてください。微積を使うと、0からtまで積分をすれば求めることができます。

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