雨粒の落下と加速度のa-tグラフを微積で考える！（高校物理と微積分）

桑子研

サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。

前回、「雨の速度はなぜ一定になるのか？」について、微積分を使った解説をお届けしました。すると、さっそく次のような質問が寄せられました。

Q「雨粒が初速度０で落下するとして、雨の落下のv−tグラフはわかりましたが、加速度の様子（a−tグラフ）はどうなるのでしょうか？」

今回はこの質問にお応えしていきたいと思います。微積分を少し取り入れるだけで、イメージだけでなく「数式的にも納得できる」面白さが味わえます。授業で生徒に問いかける題材にもピッタリなので、ぜひ準備の参考にしてください！

まずはイメージから

前回整理したように、空気抵抗のある雨粒の運動は、次のような式とグラフで表されます。

もし初速度 v_0 が０場合、つまり「静かに落下し始めた雨粒」の運動は、さらに次のような数式とグラフで表されます。

このグラフの様子から、加速度（a-tグラフ）はどうなりそうでしょうか？

• 雨粒は落下し始めると、最初は急激に速度が変化します。

• しかし、空気抵抗がだんだんと大きくなって、速度の変化は徐々に緩やかに。

• 最終的には、速度の変化がほぼなくなり、一定になります。

つまり、加速度は最初は大きく、その後なだらかに減少し、最終的に0に近づくそんなイメージのグラフが予想されますね！

数式で確かめよう

加速度は、速度の時間微分です。では、実際に速度を微分してみましょう。

計算してみると、時刻0のとき、加速度は重力加速度 g になります。これは、落下開始直後には空気抵抗がまだ働いていないので、「ただ重力だけ」で加速していることを意味しています。その後、時間が経つにつれて、空気抵抗が増していくため、加速度は徐々に小さくなっていきます。そして、最終的に加速度は0になり、速度が一定（終端速度）に達するわけですね。グラフにするとこんな感じです。