雨の速度はなぜ一定になるのか？すぐわかる！微積で物理

高校物理と微分積分について

今回は、物理を学んでいるみなさんに向けて、ちょっとおもしろい話をしようと思います。実は、高校の物理の教科書では「微積分」を使わずに説明されていることが多いんです。これは、数学の進度に合わせた構成になっているからなんですが、実際には微積分を使ったほうが「スッキリ」理解できる場面が結構あります。

このコーナーでは「微積分を使うと、もっとわかりやすいかも？」というテーマで、ひとつひとつ詳しく解説していきたいと思います。今回取り上げるのは、空気抵抗が働く場合の運動についてです。教科書では少し複雑に感じるかもしれませんが、微積分を使うと「あ、そういうことか！」と腑に落ちるかもしれません。

今回は雨の終端速度についてです。

空気抵抗の入った落下運動

まずはじめに最も簡単なモデルである、速さに比例する空気抵抗kvが働く場合について今回は考えます。雨粒が上空から落下してくる様子をイメージしてみましょう。

　加速度を微分すると、落下する物体に働く合力はmg−kvと表されますので、運動方程式を作ると次のようになります。

　ここで入試の問題としては、終端速度を問う問題がでます。はじめは速度が小さいので、ｋｖの値は小さくなり加速をします①。しかし速度が増えると、ｋｖの値が大きくなり、加速度も小さくなります②。そして最終的にはｋｖとｍｇがつりあいます。

　このことから終端速度は、

　と表されます。ただ、一体どのようにして速度がmg/kに近づいていくのでしょうか。微積を使って、確かめてみたいと思います。運動方程式の変数はvなので、変数分離すると、

<両辺をkで割る>

< − をかける>

<で割る>

両辺を時間ｔで積分します。

この数式の一般解を求めると、

　ここで、時刻０のときの速度をv₀とすると、式①より

となります。これで積分定数Cが決まりました。これを式①に代入すると、次のようになります。

ここで、式②の右辺の−mg/k+v₀<0のとき、つまり初速度v₀がmg/kよりも小さい場合には、

　これをグラフにすると、

　このよになります。時刻０のときの速度は、先ほどだしたので当たり前ですが、

　また時間が無限大のときの速度、終端速度は

　となります。これらをグラフに記入すると、

　これが雨粒の落下の様子をしめします。雨粒は時刻０では初速度v₀、そのときの傾きｇで落下します。しかし空気抵抗の影響をうけると、徐々に速度が減っていき、最終的にはある一定の速度に落ち着きます。このとき、重力と空気抵抗がつりあっている状態です。

　このような空気抵抗のある問題は入試問題では、終端速度を釣り合いの式から出すような問題以外は、あまり出題されることはないのですが、微積分を使うことにより、その落下の様子をイメージすることができて面白いですよね。

次回は、式②の右辺の−mg/k+v₀>0のとき、つまり初速度v₀がmg/kよりも大きい場合にはどのようになるのか考えてみましょう。これは小さな天体などが地球に衝突したときの様子になります。

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