ベクトルの成分表示を使いこなす！斜方投射と微積分その３

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高校物理と微分積分について

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが物理では微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも多くあります。

今回はその３回目で、物体を斜めに投げたときの運動、つまり斜方投射は、物理の中でも興味深いテーマです。今回は、微分積分を使って、この運動をベクトルの成分ごとに分解し、理解を深めてみましょう。前回はこちらからご覧ください。

物体はどう落ちる？ 微積でスパッと理解する落下の法則！（物理と微積 第２回）

斜方投射と微積分

地表面付近にある物体には、一定の重力ｍｇが鉛直下向きに「のみ」働きます。水平方向には働きません。運動方程式によれば、力の働いた方向にのみ、速度変化が起こります。第１回の等速度運動と微積、第２回の等加速度運動の知識を合わせます。

まず、角度θ、初速度v₀で、原点から投げ出された物体について考えてみます。この速度ベクトルは、ｘ軸方向にv₀cosθ、y軸方向にv₀sinθの速度成分を持っています。またこの物体にはたらく力は、ｘ軸方向は０、ｙ軸方向にのみ−ｍｇです（鉛直上向きを正としました）。

初期位置（0, 0）

物体の初速度（v₀cosθ，v₀sinθ）

物体に働く力（0, −mg）

 　このことから運動方程式をそれぞれの成分ごとに作ってみましょう。

それぞれの成分ごとに、１回積分をします。まずはｘ成分からみていきましょう。参考になるのは、第１回めの記事ですので、そちらも合わせて御覧ください。

ｘ成分

については、と微分表記をすることができます。それでは積分をしてみましょう。

※　C,C’は積分定定数

　時刻０のときの速さをv₀ cosθなので、C’= v₀ cosθとなります。よって

v_x=v₀ cosθ

となります。同様にして、今度はｘ方向の速度v_x=v₀をもう一度積分をして、変位ｘを導きます。

※C’’は積分定数

　となります。時刻0のときの位置を初期位置を原点スタート０とすると、0=C’’となります。このことから、

x=v₀cosθt

　となります。

ｙ成分

ｙ成分についても、ｘ成分と同様に計算をしてみてください。もし困ったら、第２回目をご覧ください。１回積分をすると、

　速度が出ます。もう１回積分すると、

　と変位が求められます。このようにして放物運動の式を求めることができます。

放物線と数式

ｘとｙの式から、時間ｔを消去してみてください。x=v₀cosθtをｔについて解くと、

　これをｙの式に代入すると、

　となり、定数a,bとすると、

　となり、この概形をグラフに描くと

　となります。

ベクトルの成分ごとに運動を分解し、微分積分を用いることで、物体の運動を詳細に解析できます。この方法は、物理の他の分野や三次元の運動解析にも応用可能です。微積分を活用することで、物理現象の理解がより深まります。

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