バネと電気はそっくりだった！微積分で見る電気振動の美しい正体
サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。
「バネの振動」と「電気回路の振動」。一見まったく別の話のように思えますよね。でも実は、この2つはまったく同じ数式で表せるのです。それを鮮やかに示してくれるのが、微分積分の力です。今回は、高校物理の教科書では「公式として与えられるだけ」の電気振動を、微積分を使って一から導いていきましょう。
ブランコの振動とも関係がありますよ。
高校物理と微分積分
高校物理の教科書では、数学の進度の関係から微積分を使わずに説明がされています。しかし、微積分を使って考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります。このコーナーでは、微積分を使ったほうがよい範囲をひとつひとつ丁寧に説明していきます。今回のテーマは「電気振動」です。
電気振動とは何か？
充電したコンデンサーとコイルをつなぐと、コンデンサーとコイルの間で電荷が行ったり来たりする電気振動という現象が起きます。この振動は、力学で学ぶ単振動（バネの振動）と同じ形で表すことができます。コンデンサーに電荷が最大にたまったとき、コイルに流れる電流が最大になったとき——それぞれのエネルギーの保存から、高校物理では次のような周期の公式が与えられます。
教科書では「こうなります」とだけ書かれていますが、今回はこの式がなぜこうなるのかを、微積分を使って丁寧に導いていきます。
電気振動とキルヒホッフ第二法則
あるときコンデンサーにたまった電荷をQとして、この電荷がコイルに流れ込み、電流Iが増えていく状況を考えます。
回路に流れる電流の向きを時計回りを正と決めると、キルヒホッフの第二法則から次の式が立てられます。
さらに、コンデンサーの電荷がゼロになっても、コイルの自己誘導という性質によって電荷はさらに運ばれ続けます。
このときのキルヒホッフの第二法則を考えると（反時計回りを正とする）、
となります。2つの式を並べてみると、まったく同じ形をしていることに気づきます。これは重要な発見です。この式を定数と変数に整理していくと、次のような形になります。
I＝dQ/dtの関係を使うと、
定数 × Qの2回微分 ＝ －定数 × Q
バネの単振動と見比べてみよう
ここで、バネの単振動の運動方程式を並べてみましょう。
定数 × xの2回微分 ＝ －定数 × x
まったく同じ形です。電荷Qが変位xに、コイルのインダクタンスLが質量mに、1/Cがバネ定数kに対応しています。つまり電気振動は、電気の世界で起きているバネの振動なのです。この方程式の一般解は次のようになります。
これを時間で微分すると電流が求められます。
電荷が振動していれば、電流も振動する。当然のことですが、式の上でもきちんと確認できますね。
周期の公式はこうして導かれる
対応関係 m＝L、k＝1/C を、バネの単振動の周期の公式に代入すると、
電気振動の周期の公式が自然に導かれます。
また角周波数ωは ω＝2π/T より、ω＝1/√LC となります。初期条件として、時刻0でコンデンサーに電荷Q₀がたまっており、電流はゼロであるとすると、初期位相δはπ/2、振幅AはQ₀となります。
この初期値を電流の式に代入すると、
たしかに時刻0では電流がゼロになることが確認できます。初期条件を使って式を整理し直すと、
QはcosでIはsin。つまり、コンデンサーの電気量とコイルの電流は、位相がπ（半周期）ずれて振動していることがわかります。一方がピークのとき、もう一方はゼロ。まるでシーソーのようにエネルギーをやりとりしているイメージです。
エネルギーの保存について
対応関係 m＝L、k＝1/C、v＝I、x＝Q から、力学的エネルギーの保存と同じ形で電気振動のエネルギー保存式が作れます。
コイルに流れる電流が最大になったとき、コンデンサーには電荷がたまっていないので、
教科書によっては電圧の最大値で書かれている場合もあります。
微積分で考えると、公式の「結果」だけでなく、振動の途中の様子まで式で追いかけられるのが面白いところです。バネと電気がまったく同じ数学で動いているという事実。これこそが、物理学の「美しさ」のひとつだと思います。実際に実験をして電気振動の様子を掴んでみましょう。こちらの記事も併せてご覧ください。
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