雨の速度はなぜ一定になるのか？すぐわかる！微積で物理
高校物理と微分積分について
高校物理の教科書では #微積分 を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも多くあります。このコーナーでは、微積を使ったほうが良い範囲について、一つひとつ説明をしていこうと思います。今回は空気抵抗がはたらく場合の運動について見てみましょう。
空気抵抗の入った落下運動
まずはじめに最も簡単なモデルである、速さに比例する空気抵抗kvが働く場合について今回は考えます。雨粒が上空から落下してくる様子をイメージしてみましょう。
加速度を微分すると、落下する物体に働く合力はmg−kvと表されますので、運動方程式を作ると次のようになります。
ここで入試の問題としては、終端速度を問う問題がでます。はじめは速度が小さいので、ｋｖの値は小さくなり加速をします①。しかし速度が増えると、ｋｖの値が大きくなり、加速度も小さくなります②。そして最終的にはｋｖとｍｇがつりあいます。
このことから終端速度は、
と表されます。ただ、一体どのようにして速度がmg/kに近づいていくのでしょうか。微積を使って、確かめてみたいと思います。運動方程式の変数はvなので、変数分離すると、
<両辺をkで割る>
< − をかける>
<
で割る>
両辺を時間ｔで積分します。
この数式の一般解を求めると、
ここで、時刻０のときの速度をv0とすると、式①より
となります。これで積分定数Cが決まりました。これを式①に代入すると、次のようになります。
ここで、式②の右辺の−mg/k+v0<0のとき、つまり初速度v0がmg/kよりも小さい場合には、
これをグラフにすると、
このよになります。時刻０のときの速度は、先ほどだしたので当たり前ですが、
また時間が無限大のときの速度、終端速度は
となります。これらをグラフに記入すると、
これが雨粒の落下の様子をしめします。雨粒は時刻０では初速度v0、そのときの傾きｇで落下します。しかし空気抵抗の影響をうけると、徐々に速度が減っていき、最終的にはある一定の速度に落ち着きます。このとき、重力と空気抵抗がつりあっている状態です。
このような空気抵抗のある問題は入試問題では、終端速度を釣り合いの式から出すような問題以外は、あまり出題されることはないのですが、微積分を使うことにより、その落下の様子をイメージすることができて面白いですよね。
次回は、式②の右辺の−mg/k+v0>0のとき、つまり初速度v0がmg/kよりも大きい場合にはどのようになるのか考えてみましょう。これは小さな天体などが地球に衝突したときの様子になります。
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