Q&A 「時間の無い式」と「エネルギー保存」どちら?センター物理基礎


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ちいさんから物理基礎に関して質問が届きました。ちいさんから了承を得たので、お答えしました(名前など一部改変しています)。

Q エネルギーの保存のつかいどころがわかりません!時間のない式ではだめなのでしょうか?

ちいと申します。

わたしは今年のセンターを物理基礎で受験する文系の者ですが、学校に物理基礎を受ける者がわたし1人しかおらず、物理の先生は理系の物理につきっきりでなかなか質問すら受け付けてもらえない状況でして…いつも(こちらから一方的に)お世話になっている桑子先生にお力を貸していただきたいのです(>_<)

早速質問で申し訳ございませんが、速さvを求める際に、”等加速度運動の公式を使うべきか、エネルギー保存の法則を使うべきか”を見極めるコツはありますか?例えば次のような問題の場合です。

問題

長さLの木材を図のように固定し、速さv0で弾丸を木材に向かって水平に打ち込んだところ、2/3Lの位置までめり込んで静止をしました。同じ弾丸を速さ2v0で打ち込んだところ、木材を突き抜けました。木材を突き抜けた後の速さを求めなさい。木材が弾丸に及ぼす力は弾丸の速さによらず一定とします。

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解説を読んだところ、エネルギーの保存を使って解いてありました。

これを、等加速度運動の公式から時間tを除いた式(v^2-v0^2=2ax)で求めることはでき…ませんよね?初速v0、変位xが与えられており、加速度をma=Fから求めれば等加速度運動の公式で速さvが求められそうだな…と考えてしまい、上手く解を求めることができませんでした。

解答解説を読んで解を求めることはできたのですが、”どうしてエネルギー保存の法則を使うという発想に至ったのか?”がどうもよく分かりません…。

よろしくお願いいたしますm(_ _)m

A 時間のない式で解けるはずですよ。

ちいさんありがとうございます。時間のない式で解けるはずですよ。
というのも、この式はエネルギー保存の式と同じ意味をもっているからです。

まずはエネルギーの保存でどのように解けるのかを考えてみましょう。次の図のように、はじめの弾丸の様子と終わりの弾丸の様子、そして抗力のした力をfとしてエネルギーの保存の式を作ります。

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スクリーンショット 2015-01-05 8.09.29式①

次に2v0で打ち込んだときの、エネルギーの保存の式を作ると、

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 このfに式①のfを代入して、vについて求めていくと、答えはe8bda9e35bdd38cbb5191d3a3fcf07b4-1となります。
動画を使った解説も作りました!こちらを御覧ください。

次に時間の無い式で解く場合について紹介しましょう。弾丸は木材の中で一定の力を受けます。そのため一定の加速度で減速していきます。はじめの2/3lまでいったときの場合は加速度をa、とすると、

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 となります。同様に、貫通したときの場合は、

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 となります。2つの式を連立して加速度aを消すことによって同じ答えを導き出すことができます。

実は時間の無い式とエネルギーの保存は同じ式です。例えば時間の無い式の両辺に1/2mをかけてみます。

時間のない式

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 ここで右辺に運動方程式ma = Fを代入します。

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となり、整理すると、

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はじめの力学的エネルギー+仕事=おわりの力学的エネルギー

という式になりますので、同じ式になるというわけです。動画を使った説明はこちらをご覧ください。

エネルギー保存はいつ使えばいいの?

物理基礎でも問題に対して、どうやって使い分けるのか?がポイントになります。

方法としては、拙著ぶつりの123で紹介したのですが、問題をみたらまず
はじめにエネルギーの保存が使えるかどうかを確認してください。だめそうなら、運動方程式という感じでいきます。

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ぶつりの123より

なぜかというとエネルギーの保存を使える場合は、断然に計算が簡単になるからです。

するとちいさんから次のような返信がきました。

ちいさんからの返信

なるほど!ではこの2式はほんとうに式を変形させただけなのですね。スッキリしました、有難うございます!!

物理基礎の授業は1年のときにしかなかったのですが、どうしても最初に習った等加速度運動の印象が強く、v、v0、と出てくるとついつい等加速度運動に持っていきたくなるもので…でも実際に問題を解いてみると運動方程式や力学的エネルギーに比べあまり使い所がなくもやもやしていたところです。おかげで等加速度運動の式も日の目を見れそうです(笑)。

ーーー

みなさんはどうでしたか?問題を解くことができましたか?

なれるまでは難しいですが、センター物理基礎ではこのレベルの問題が最も難しいレベルとなると予想をしています。
何かあれば、またご質問ください。

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