たった１行で解ける！ジェットコースターの速度を計算する魔法の法則「力学的エネルギー保存の法則」（高校物理復習帳）
サイエンストレーナーの桑子研です。毎日が実験。
ジェットコースターが命綱もないのに、あの猛スピードでレールを駆け抜けられるのはなぜでしょうか。実はそこには、たった一つのシンプルな法則が隠れています。それが「力学的エネルギー保存の法則」です。この法則を知っていれば、東京ディズニーランドの人気アトラクションの最高速度さえ、電卓ひとつで計算できてしまいます。今回はこの魔法のような法則の仕組みと、実際の遊園地アトラクションへの応用を紹介します。
力学的エネルギー保存の法則とは
前項ではエネルギーと仕事について説明しましたが、この考え方はいったい何の役に立つのでしょうか。日常生活でその効用をはっきりと感じられるのは、ある条件のもとで「力学的エネルギー保存の法則」が成り立つときです。
たとえば、ある物体を図のように初速度v0で投げ上げた場合を考えます。
このとき物体は運動エネルギーを失っていき（少しずつ速度が減っていき）、最高点では瞬間的に止まり速度はゼロになってしまいます。しかしその代わりに位置が高くなっているので、位置エネルギーが増えていることがわかります。そしてなんと、投げたときの運動エネルギー1/2mv02と、最高点の位置エネルギーmghは等しくなるのです。これが力学的エネルギー保存の法則です。
イラストはAIを使って作成しました。
数式で確かめてみよう
数式を使って２つが等しくなることを確かめてみましょう。等加速度直線運動の公式の位置の式について、最高点に達したときの条件で立てると次のようになります。
v^2 – v_0^2 =0 2(-g)x
最高点はv=0なので、
v0^2=2gx
1/2v02について整理すると、
1/2 v02 = gh
両辺にｍを掛けると、
1/2 mv02 = mgh
運動エネルギー＝位置エネルギー
左辺が運動エネルギー、右辺が位置エネルギーとなります。この式は、はじめの運動エネルギーと最高点の位置エネルギーが等しくなっていることを示しています。つまり、力学的エネルギーは運動の前後で変化していません。これが力学的エネルギーの保存です。
橋の上からリンゴを落としたら？
力学的エネルギーの保存を使うと、10mの高さから質量m[kg]の物体を落とすと、その物体が地面に到達したとき、どのような速度vになっているのかを、等加速度直線運動の公式よりもずっと楽に、そして速く計算することができます。
それでは計算をしてみましょう。力学的エネルギーの保存より、
mg 10 = 1/2 mv2
（はじめの位置エネルギー＝最終的な運動エネルギー）
これを速度vについて解くと、14 m/sとなります。たった１行で解くことができました。とても便利ですね。
エネルギーが消えてしまうとき
日常には力学的エネルギーが保存しないときも場合によってはあります。たとえば消しゴムを机の上で動かして手を放すと、消しゴムは止まってしまいます。はじめに持っていた運動エネルギーが消えてしまいました。高さも増えていません。このような場合、力学的エネルギーは保存しません。
それでは力学的エネルギーはいったいどこに消えてしまったのでしょうか。じつは摩擦力が仕事をして、運動エネルギーを奪っていたのです。仕事とエネルギーの式はこの場合、次のようになります。
1/2mv0^2 – Fx = 0
運動を妨げた摩擦力の仕事にはマイナスをつけます。運動エネルギーについて解くと、
1/2 m v0^2 = Fx
となり、運動エネルギーが摩擦の仕事に使われたことがわかります。
力学的エネルギーは、このように重力を除いた外からの力（外力という）がはたらいている場合には保存しません。外力である摩擦力のした仕事は、摩擦熱という熱エネルギーになって力学的エネルギーとしては減少してしまいます。消しゴムを机でゴシゴシこすった後に机を触ると、温度が上がり熱くなっているのがそのよい例です。力学的エネルギーは保存しませんが、摩擦熱の熱エネルギーを含めると、エネルギーは式①のように保存しています。
このように力学的エネルギー以外の、熱エネルギーや電気エネルギーなどすべてのエネルギーを考えると、エネルギーは保存しています。これを「エネルギー保存の法則」といいます。
ジェットコースターと力学的エネルギーの保存
ジェットコースターや振り子には、重力以外の垂直抗力や張力などの外力がはたらいているので、一見すると力学的エネルギーは保存していないように見えます。
しかし、垂直抗力や張力は常に物体の運動方向とは垂直にはたらきます。仕事とは、物体の運動を助けたか（プラスの仕事）、妨げたか（マイナスの仕事）のどちらかです。垂直抗力や張力など運動方向に対して垂直な力は、移動方向とは関係ない方向を向いているため、仕事をしていません。仕事はゼロです。なんとこのような場合では、力学的エネルギーの保存は成り立ちます。これがまた、力学的エネルギーの保存則が実際におおいに役立つところです。
スプラッシュ・マウンテンの最高速度を計算してみよう
たとえば、東京ディズニーランドで最高速度を誇るアトラクション「スプラッシュ・マウンテン」の速度を求めてみましょう。公式サイトには、次のように書かれていました。
画像はAIに描いてもらいました。
丸太のボートに乗って、アメリカ南部の沼地を進んでいきます。そこで暮らしているのは、たくさんの小動物たち。彼らのゆかいな姿をながめながらのんびりと旅を楽しんでいると、突然目の前に落差16メートルの滝が！ ボートは滝つぼめがけ、ダイビング！
（東京ディズニーランド公式サイトより）
落差は16ｍ。丸太ボートと観客の重さをｍ[kg]として、最高速度を計算してみましょう。
位置エネルギー（mgh）＝運動エネルギー（½mv²）
ここで、
g = 9.8 m/s²（重力加速度）
h = 16 m（高さ）
計算すると、
km/hに直すと、計算では時速63.7kmとなりました。Wikipediaのスプラッシュマウンテンの情報によると、落下時の最高速度は時速62kmとあり、計算結果とほぼ一致します。少し計算値よりも実際の速さが遅いのは、レールの摩擦や空気抵抗の負の仕事によるものでしょう。
より詳しくはこちらの記事をご覧ください。
絶叫マシンFUJIYAMAの恐怖の速度とは
同様に、富士急ハイランドのFUJIYAMAというジェットコースターについても計算してみましょう。公式サイトによれば、落差70m、最高速度時速130kmとなっています。なんて恐ろしい……。
画像はAIに描いてもらいました。
想像するだけで足がすくみますが、速度を計算してみましょう。
mg70 = 1/2 mv2
（位置エネルギー＝運動エネルギー）
v=37m/s、時速にすると、133.2km/hとなり近い値となりますね。
公式サイトの情報とほぼ一致することがわかります。力学的エネルギーの保存を知っているだけで、あなたもジェットコースターの設計士になれますね。日常のちょっとした遊びの裏側にも、物理法則がしっかりと息づいているのです。
この記事は拙著の紹介も兼ねて書きました。色々な物理法則について、書籍でもぜひご覧ください。
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