When the Electric Hill Goes Flat!? The Magic of Capacitors Revealed in 3D Graphs (Using Grapher)

I’m Ken Kuwako, your Science Trainer. Every day is an experiment!

When you hear the word “electricity,” what kind of shape do you imagine? Let’s face it—understanding the invisible world of electricity can be a bit of a head-scratcher.

In science class, we learn about a device called a “capacitor.” We’re taught that inside a capacitor, there is a uniform electric field where the electrical strength is the same everywhere. Sure, you can prove this with mathematical formulas, but sometimes those equations alone don’t give you that “Aha!” moment.

So today, I’ve decided to take that invisible electrical “elevation” and map it out in 3D, just like a topographic map. I’ll be using “Grapher”—a hidden gem of an app that comes standard on every Mac—to lead you into the world of visual science simulation! First, take a look at this video to see this mysterious landscape for yourself.

Visualizing Electrical “Mountains” and “Valleys”

In the world of electricity, there’s a concept called electric potential. You can think of this as electrical “height.” Positive charges create high “mountains,” while negative charges carve out deep “valleys.”

Creating this visual is surprisingly simple. First, let’s turn the potential created by a single charge into a formula. Try typing the following into the equation editor in Grapher:

Once you hit enter, a beautiful 3D graph will emerge on your screen. Take a close look: the “slope” of this potential represents the strength of the electric field. Notice how the slope is steep near the center and gets gentler as you move away? You can clearly see how the “steepness of the electrical hill” changes depending on where you are. If you look at it from the side, the curve becomes even more obvious.

When Charges Line Up, a “Perfect Slope” Appears Like Magic

Now, here’s where capacitors get really interesting. A capacitor is essentially a structure where many charges are lined up on a plate. Let’s take those “mountains” and “valleys” we just saw and line them up side-by-side. The formula looks like this:

And what happens? Those individual, bumpy mountains merge together, and the slope of the potential begins to look like a straight line (a flat plane).

From the side view, the slope is now perfectly constant. This means the “angle of the electrical hill” is the same everywhere—in other words, the electric field strength is uniform. While individual charges create jagged peaks, when they work together in formation, they create a beautifully smooth, uniform slope—just like a freshly groomed beginner’s run at a ski resort. Isn’t that a wonderful bit of harmony in nature?

You Can Be an “Electrical Architect” Too!

You can download the Grapher file used in this demo right here and try playing with it yourself. And don’t worry if you don’t have a Mac! You can do the exact same thing using GeoGebra, a handy tool that runs right in your web browser. I’ve summarized how to do that in this article, so go ahead and map out your own electrical landscapes!

グリグリ動かせる！Geogebraで電位の「山と谷」を作って電場と電位をマスターしよう！

By turning mathematical “blueprints” into 3D images, the dry text in your textbook will transform into a vivid, living image.

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• 1/27 『見えない力と遊ぼう！電気・磁石・熱の実験』（工学社）を執筆しました。
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講師・ショー・その他お知らせ

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