一張圖秒懂！親手實驗推導牛頓第二運動定律

科學訓練師桑子研在此。每一天都是實驗。

「你覺得高中物理最重要的公式是什麼？」
如果有人這樣問你，你會怎麼回答呢？也許有人會說是愛因斯坦相對論的那個著名公式，也許有人會想到能量守恆定律——各種答案都可能出現。但若問許多物理學家「最想舉的那一個」，相信大多數人心中的答案，還是這個：運動方程式 $F=ma$。
短短三個字母，卻藏著整個世界——球的拋物線、汽車的加速、火箭衝破大氣層的那一刻，全都包含在裡面。
「知道」和「真正感受過」，是完全不同的兩件事。今天要介紹的，就是一個讓學生親手推導出這個運動方程式的實驗。

實驗目的：探索質量、加速度與力的關係

這個實驗的目的，是透過實際數據，找出作用在物體上的力 (F)、物體的質量 (m)，以及物體的加速度 (a) 之間究竟存在什麼樣的關係。最終目標，是讓學生自己「發現」那個著名的運動方程式 $F=ma$，而不是由老師直接「給」他們。公式不是背來的，是找出來的——這種感動，才是真正的學習。

課前準備：讓實驗成功的關鍵提示

這個實驗會用到一種叫做「定力裝置」的實驗器具。顧名思義，它能夠持續以固定的力拉動物體，不管物體是靜止還是移動中都一樣。如果用手拉，力道難免忽大忽小；但有了定力裝置，結果就不會因學生的手感差異而改變，能穩定地得到可重複驗證的數據。
定力裝置通常附有兩條鋼絲。以「定力裝置 DJ-0461」為例，上方的鋼絲拉力約為 $0.49\text{N}$（相當於約50公克的重量），下方的鋼絲約為 $0.98\text{N}$（約100公克）。實際用彈簧秤量測時，數值可能會有些微誤差，但大致上就是這個範圍。

定力裝置 DJ-0461

「定力裝置好像很貴……」也許有些老師心裡這樣想。確實，大約一萬日圓的價格，個人購買門檻不低。不過，若能透過學校預算為每組學生各配一台，實驗的精確度會大幅提升。當然，用彈簧秤拉動力學台車的方式也能進行實驗，但如果追求更穩定、更有說服力的結果，定力裝置絕對值得考慮。

兩台速度計製造的「魔法」

理科實驗室裡常見的速度測量器「Bee-Spi（光閘速度計）」，利用光電感應器偵測物體通過的時刻，進而計算出速度——是一種非常方便的裝置。

它原本是用來測量單點速度的，但如果把兩台並排使用，就能精確計算出物體「速度增加的快慢」，也就是加速度。方法其實很簡單：先固定好兩台 Bee-Spi 之間的距離，然後在力學台車的前端黏上一根竹筷。竹筷依序通過兩台 Bee-Spi 的感應區，第一台測得初速度，第二台測得末速度。接著代入以下公式：

就能算出那個肉眼看不見的加速度了。想看實際的實驗過程，請參考以下影片。

科學食譜：準備材料與實驗步驟

接下來，我們來看看具體的準備內容與實驗步驟。
所需材料

• 定力裝置：定力裝置 DJ-0461（各產品的拉力可能不同，請以實際使用的裝置為準）
• 力學台車
• Bee-Spi（光閘速度計）：2台（例如 BeeSpi V）
• 1公尺長的直尺：用於設定測量區間
• 竹筷
• 油性黏土：用於增加質量（例如準備3塊各 $500\text{g}$ 的黏土）
• 電子天平：精確測量黏土的質量
• 牛頓彈簧秤：可測到約 $2\text{N}$（用於確認定力裝置的拉力）
• 計算機：用於計算加速度
• 膠帶：用於固定零件

實驗步驟

1. 準備牛頓彈簧秤：將彈簧秤水平拿好，調整使紅色指針指向 $0\text{N}$。
2. 確認定力裝置的拉力：用彈簧秤實際測量定力裝置上、下兩條鋼絲的拉力，並分別記錄下來。這個數值在後續的討論中非常重要。
   • 上方鋼絲：$()\text{N}$
   • 下方鋼絲：$()\text{N}$
3. 準備力學台車：用膠帶將竹筷固定在力學台車前端。竹筷除了通過 Bee-Spi 的感應區之外，也負責鉤住定力裝置鋼絲的鉤子（請參考下圖）。

4. 設定實驗條件並取得數據：依照以下①～⑦的條件移動力學台車，利用兩台 Bee-Spi 測得的速度與它們之間的距離，計算出加速度。加速度請套用等加速度運動公式 v2−v02​=2ax 來計算。力學台車本身的質量設定為 $1.0\text{kg}$。
   • ① 不做任何事：作為對照組。
   • ② 不放砝碼，只用上方鋼絲拉動台車。
   • ③ 不放砝碼，只用下方鋼絲拉動台車。
   • ④ 不放砝碼，同時鉤上上、下兩條鋼絲拉動台車。
   • ⑤ 在台車上放 $500\text{g}$ 的砝碼，只用下方鋼絲拉動。
   • ⑥ 在台車上放 $1000\text{g}$ 的砝碼，只用下方鋼絲拉動。
   • ⑦ 在台車上放 $1500\text{g}$ 的砝碼，只用下方鋼絲拉動。

整理實驗結果：從圖表中找出規律！

取得實驗數據後，接下來就要把這些數字化成圖表，讓規律「現形」。

• 繪製 a-F 圖表：使用①～④的數據，以加速度 a 為縱軸、拉力 F 為橫軸作圖。力與加速度之間的關係，應該會清楚地呈現出來。
• 繪製 a-m 圖表：使用③⑤⑥⑦的數據，以加速度 a 為縱軸、質量 m 為橫軸作圖。質量與加速度之間的關係，也會逐漸浮現。
• 繪製 a-1/m 圖表：同樣使用③⑤⑥⑦的數據，這次以加速度 a 為縱軸、質量的倒數 1/m 為橫軸作圖。做出這張圖後，一個非常重要的關係將會清楚地展現眼前。

實際進行這個實驗，應該會得到以下幾個有趣的結果：

• 從 a-F 圖表可以看出，拉力與加速度之間存在漂亮的比例關係。力加倍，加速度也加倍，毫不含糊。
• a-m 圖表則呈現出反比例的關係。相同的力，質量越大，加速起來就越費力——這正是我們直覺上也感受得到的道理。
• 而 a-1/m 圖表，則會出現美得令人驚訝的比例直線。

綜合以上三個結果，可以整理出：

F=kma​

其中 $k$ 是比例常數。當我們定義「讓1公斤的物體產生1 m/s²加速度所需的力為1」時，k 就等於1，最終導出那個舉世聞名的運動方程式 $F=ma$。
如果能在這個基礎上，進一步說明「牛頓（N）」這個力的單位正是這樣定義出來的，學生對於「力」這個概念的理解，將會深入到一個完全不同的層次。

用閃光攝影「看見」運動

瞬間施加一個力，和持續施加固定的力，物體的運動會有什麼不同？我們用閃光攝影拍下了這兩種運動的樣子，請看以下影片：

上方是等速直線運動，下方是加速運動，一眼就能看出差異。同樣是「在動」，施力方式不同，運動的樣貌就截然不同——能夠把這件事「視覺化」，正是這個實驗最迷人的地方。

透過這個實驗，學生不再只是死背公式，而是親身探索物理規律、自己推導出結論。那種「我找到了！」的感動，才是讓學生真正愛上物理的關鍵。歡迎大家把這個實驗帶進自己的課堂，相信一定能點燃學生對物理的熱情。

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