Make Sense of Tricky AC Circuits! Visualizing the Addition of Trigonometric Functions with Animation (Scratch)

I’m Ken Kuwako, your Science Trainer. Every day is an experiment!

Electricity powers our modern lives, but did you know that the “alternating current” (AC) humming through your home is actually a beautiful symphony of overlapping waves? The key to unlocking the complex maze of RLC circuits found in smartphones and appliances lies hidden within a mathematical gem: the harmonic addition theorem (or the method of combining trigonometric functions). However, just staring at formulas in a textbook rarely brings the concept to life. Today, I want to share the excitement of seeing math and physics click together through an animation I created to make these invisible electrical movements visible!

The Powerhouse of the Electric World: The Harmonic Addition Theorem

When diving into AC theory and RLC circuits—those systems that combine resistors, inductors, and capacitors—you inevitably run into the need to combine sine and cosine waves. Without understanding how this formula is derived or what it means geometrically, many students find themselves asking, “Wait, why are we doing this calculation again?” and losing their way.

Let’s start with the fundamental formula. I’ve written it using ωt (omega-t) for the angle, as this is the standard form we use in physics class.

The Harmonic Addition Theorem:

The Secret Identity of the Formula: It’s All About Rotation

What is this equation actually trying to tell us? Let’s look at it through a geometric lens. When you compare it to a standard sine wave (sinωt), the magic really starts to show.

The Geometric Meaning

Looking at this diagram, you can see that the “combined wave” is essentially the shadow of a vector spinning in a circle with radius r. Imagine a sine wave that starts its rotation with a slight head start (an initial phase shift of α). Since static images in textbooks make this “movement” hard to grasp, I’ve built an animation for you! It should give you an intuitive feel for how the math physically builds the wave shape.

Give it a try here:

https://scratch.mit.edu/projects/303808808/

You can also watch the full video explanation below:

Going Deeper: The Mathematical Story Behind the Formula

Why does this addition theorem actually work? Behind the scenes, we’re using reliable mathematical tools like the Pythagorean theorem and the Law of Cosines—concepts many of us first encountered in middle school.

Reference: Deriving the Harmonic Addition Theorem

Based on the diagram above:

Therefore:

By applying the Law of Cosines:

We arrive at:

It’s fascinating how complex physical phenomena can be stripped down to such elegant mathematical rules. I hope this makes the seemingly cold world of AC circuits feel a bit more approachable and, dare I say, fun!

For more on the relationship between sine and cosine, check out this post:

https://phys-edu.net/wp/?p=33077

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キーンと冷えるドライアイス！気温が上がってくるこの時期・ドライアイスを使った昇華・凝結・等速度直線運動の実験はいかが？

液体ゼロ！ドライアイスが消えるまでの３時間を科学する（昇華・凝結・等速度直線運動）

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