Make Sense of Tricky AC Circuits! Visualizing the Addition of Trigonometric Functions with Animation (Scratch)

I’m Ken Kuwako, your Science Trainer. Every day is an experiment!

Electricity powers our modern lives, but did you know that the “alternating current” (AC) humming through your home is actually a beautiful symphony of overlapping waves? The key to unlocking the complex maze of RLC circuits found in smartphones and appliances lies hidden within a mathematical gem: the harmonic addition theorem (or the method of combining trigonometric functions). However, just staring at formulas in a textbook rarely brings the concept to life. Today, I want to share the excitement of seeing math and physics click together through an animation I created to make these invisible electrical movements visible!

The Powerhouse of the Electric World: The Harmonic Addition Theorem

When diving into AC theory and RLC circuits—those systems that combine resistors, inductors, and capacitors—you inevitably run into the need to combine sine and cosine waves. Without understanding how this formula is derived or what it means geometrically, many students find themselves asking, “Wait, why are we doing this calculation again?” and losing their way.

Let’s start with the fundamental formula. I’ve written it using ωt (omega-t) for the angle, as this is the standard form we use in physics class.

The Harmonic Addition Theorem:

The Secret Identity of the Formula: It’s All About Rotation

What is this equation actually trying to tell us? Let’s look at it through a geometric lens. When you compare it to a standard sine wave (sinωt), the magic really starts to show.

The Geometric Meaning

Looking at this diagram, you can see that the “combined wave” is essentially the shadow of a vector spinning in a circle with radius r. Imagine a sine wave that starts its rotation with a slight head start (an initial phase shift of α). Since static images in textbooks make this “movement” hard to grasp, I’ve built an animation for you! It should give you an intuitive feel for how the math physically builds the wave shape.

Give it a try here:

https://scratch.mit.edu/projects/303808808/

You can also watch the full video explanation below:

Going Deeper: The Mathematical Story Behind the Formula

Why does this addition theorem actually work? Behind the scenes, we’re using reliable mathematical tools like the Pythagorean theorem and the Law of Cosines—concepts many of us first encountered in middle school.

Reference: Deriving the Harmonic Addition Theorem

Based on the diagram above:

Therefore:

By applying the Law of Cosines:

We arrive at:

It’s fascinating how complex physical phenomena can be stripped down to such elegant mathematical rules. I hope this makes the seemingly cold world of AC circuits feel a bit more approachable and, dare I say, fun!

For more on the relationship between sine and cosine, check out this post:

https://phys-edu.net/wp/?p=33077

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３月のイチオシ実験！

• 押し花を作ろう！：梅や桜の花の押し花を作ってみましょう。特別なケースに入れると、長く保存できて、しおりにもなります。

テレビ番組・科学監修等のお知らせ

• 「月曜から夜更かし」（日本テレビ）にて科学監修・出演しました。
• 2月27日放送予定「チコちゃんに叱られる」（NHK）の科学監修しました。

書籍のお知らせ

• 1/27 『見えない力と遊ぼう！電気・磁石・熱の実験』（工学社）を執筆しました。
• サクセス15 ２月号にて「浸透圧」に関する科学記事を執筆しました。
• 『大人のための高校物理復習帳』（講談社）…一般向けに日常の物理について公式を元に紐解きました。特設サイトでは実験を多数紹介しています。※増刷がかかり６刷となりました（2026/02/01）
• 『きめる!共通テスト 物理基礎 改訂版』（学研）…　高校物理の参考書です。イラストを多くしてイメージが持てるように描きました。授業についていけない、物理が苦手、そんな生徒におすすめです。特設サイトはこちら。

講師・ショー・その他お知らせ

• 3/20（金）　日本理科教育学会オンライン全国大会2026「慣性の法則の概念形成を目指した探究的な学びの実践」について発表します。B会場 第３セッション： 学習指導・教材（中学校）③　11:20-12:20
• 7/18（土）　教員向け実験講習会「ナリカカサイエンスアカデミー」の講師をします。お会いしましょう。
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