놀이가 배움으로 바뀌는 순간! 스피로그래프 무늬에 숨겨진 ‘수학의 마법’ (Desmos 프로그래밍)
사이언스 트레이너 쿠와코 켄입니다. 매일매일이 실험입니다.
여러분은 어린 시절 ‘디자인 자’를 가지고 놀아본 적이 있나요? 구멍이 뚫린 작은 톱니바퀴에 펜 끝을 끼우고 빙글빙글 돌리기만 하면, 마치 마법처럼 복잡하고 아름다운 기하학적 무늬가 나타나던 그 장난감 말이죠.
사실, 그 그물망처럼 아름다운 무늬의 이면에는 ‘우주의 법칙’과도 맞닿아 있는 놀랍도록 아름다운 수학의 세계가 숨겨져 있습니다.
오늘은 한 과학부 학생이 발견한 ‘놀이를 과학으로 바꾸는 방정식’에 대해 이야기해 볼까 합니다.
기하학 무늬의 마법, ‘스피로그래프’의 정체
애초에 ‘스피로그래프’라는 이름을 들어보신 적이 있나요?
스피로그래프는 원형 기어 안에 여러 개의 구멍이 있고, 거기에 연필이나 펜을 꽂아 큰 원 안에서 기어를 굴리며 그리는 장난감입니다. 단순한 움직임의 반복일 뿐인데, 완성되는 도형은 마치 만화경처럼 정교하죠. 아래 영상을 보시면 그 부드러운 움직임과 무늬가 완성될 때의 짜릿함을 느끼실 수 있을 거예요.
요즘은 다이소 같은 곳에서도 쉽게 볼 수 있고, 아마존 같은 온라인 쇼핑몰에서도 ‘디자인 자’라는 이름으로 간편하게 구할 수 있습니다. 흥미가 생기신 분들은 바로 한 번 도전해 보세요.
과학부 학생이 도전한 ‘수식’으로의 번역
예전에 이 스피로그래프에 매료된 한 과학부 학생이 있었는데요, 단순히 그리는 것에 만족하지 않고 무려 ‘이 무늬를 그리기 위한 수식’을 스스로 생각해내서 제게 보여주었습니다. “선생님, 이걸 이용하면 컴퓨터상에서도 스피로그래프를 재현할 수 있어요!”라며 보여준 자료가 바로 이것입니다. 중학생이 스스로 이렇게 정리하고 체계화했다니, 정말 대단하지 않나요?
수학의 세계에서 스피로그래프가 그리는 궤적을 ‘내트로코이드(Hypotrochoid)’ 또는 ‘외트로코이드(Epitrochoid)’라고 부릅니다. 한없이 복잡해 보이는 무늬도 사실은 ‘원의 회전’이라는 단순한 움직임이 겹쳐져 만들어진 것이죠.
디지털로 움직이는 기하학 아트
이 학생이 고안한 수식을 바탕으로, 그래프 계산기 툴인 ‘Desmos’를 사용해 기하학 무늬를 재현한 영상입니다.
수식을 조금만 바꿔도 무늬의 모양이나 밀도가 드라마틱하게 변하는 것이 묘미입니다. 직접 움직여보고 싶은 분들은 여기를 클릭해서 시뮬레이션을 즐겨보세요. 자신만의 오리지널 무늬를 꼭 찾아보시길 바랍니다. 참고로 그 이면에 숨겨진 수식의 구조는 이렇습니다.
스피로그래프의 움직임을 파헤쳐 보면, ‘하나의 원운동 안에 또 다른 속도로 회전하는 원의 움직임을 더한 것’임을 알 수 있습니다. 그렇기 때문에 수식에는 고등학교 수학에서 배우는 ‘sin(사인)’과 ‘cos(코사인)’이 사용되는 것이죠.
한 중학생이 느낀 “재밌다!”라는 호기심이 수학이라는 공통 언어를 통해 디지털 아트로 진화한 순간이었습니다. 일상적인 놀이 속에도 사실 깊고 아름다운 과학의 씨앗이 숨겨져 있습니다. 그런 시선으로 바라본다면, 평소 가지고 놀던 장난감이 조금은 다르게 보이지 않을까요?
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