왜 안 떨어질까? 물리 법칙으로 쌓는 ‘무한 책 타워’ 만들기

사이언스 트레이너 쿠와코 켄입니다. 매일매일이 실험.

책상 끝에서 책이 절반 이상이나 삐져나와 있는데도 왠지 떨어지지 않는… 마치 마술 같은 광경이지만, 여기에는 분명한 과학적 비밀이 숨겨져 있습니다. 오늘은 물리 법칙을 활용해 절묘한 균형으로 책을 쌓아 올리는 ‘마법의 타워’ 만드는 법을 탐구해 보겠습니다.

이 도전의 핵심은 고교 물리에서 배우는 ‘힘의 모멘트’라는 개념입니다. 어렵게 들릴 수도 있지만 걱정 마세요. 공원의 시소를 떠올리면 누구나 직관적으로 이해할 수 있습니다. 물체의 균형을 생각할 때 가장 중요한 ‘무게중심’과 ‘회전축’이라는 두 가지 키워드를 단서로 이 신기한 현상을 파헤쳐 보겠습니다.

우선 기본부터! ‘무게중심’이란 무엇일까?

모든 물체에는 ‘무게중심’이 있습니다. 이는 물체의 무게가 마치 한 점에 모여 있는 것처럼 작용하는 ‘무게의 중심’을 말합니다. 우선 이 무게중심의 감각을 익히기 위해 책 두 권만 쌓아 봅시다. 맨 위의 책(1권째)을 떨어질 듯 말 듯 아슬아슬한 곳까지 살살 밀어 보세요.

어떤가요? 딱 책의 절반이 삐져나온 지점에서 멈추지 않나요? 책의 길이를 L이라고 하면, 무게중심은 정확히 중간, 즉 끝에서 1/2L 지점에 있습니다. 책이 떨어지지 않는 한계 지점은 바로 이 ‘1권째의 무게중심’이 ‘아래에 있는 책(회전축)의 바로 위’에 오는 곳입니다. 즉, 1/2L까지는 밖으로 나가도 안정적이라는 뜻이죠.

레벨 업! 시소와 같은 ‘힘의 모멘트’로 평형 찾기

이제 책을 세 권으로 늘려 봅시다. 여기서부터가 진짜입니다! 1권째와 2권째를 한 세트로 묶어서 생각하고, 3권째 책 위에서 떨어지지 않는 한계 지점을 찾아봅니다.

여기서 등장하는 것이 바로 ‘힘의 모멘트’입니다. 이는 ‘물체를 회전시키려는 힘의 작용’을 뜻하며, ‘받침점으로부터의 거리 × 힘의 크기(무게)’로 계산됩니다. 시소에서 몸무게가 가벼운 아이라도 받침점에서 멀리 앉으면 무거운 아이와 균형을 맞출 수 있는 것과 같은 원리입니다.

아래 그림에서 3권째 책의 끝(회전축)을 기준으로 왼쪽으로 회전시키려는 힘(2권째 책의 무게)과 오른쪽으로 회전시키려는 힘(1권째 책의 무게)이 평형을 이루면 책은 떨어지지 않습니다.

이 ‘힘의 모멘트 평형’을 수식으로 풀어보면, 밀어낼 수 있는 거리 x는…

놀랍게도 1/4L이 됩니다. 책을 계속 늘려가면 어떻게 될까요?

아름다운 법칙의 발견! 그리고 놀라운 결론으로

다음은 네 권의 책으로 똑같이 생각해 봅시다.

가장 아래에 있는 책의 끝을 회전축으로 잡고, 그 위에 올라가 있는 세 권의 책과의 힘의 모멘트 평형을 고려합니다.

이 수식을 풀면…

이번에는 1/6L이 되었습니다.

결과를 정리해 보죠. 맨 위에서부터 순서대로 삐져나올 수 있는 길이는…

1/2L, 1/4L, 1/6L, …

아름다운 수열이 보이시나요? 이 법칙을 따르면 5권째 책이 나갈 수 있는 길이는 1/8L, 6권째라면 1/10L이라고 예측할 수 있겠네요!

이를 반복해 나가면 이런 타워가 완성됩니다.

맨 위의 책은 맨 아래의 책보다 완전히 바깥으로 삐져나와 있습니다. 그리고 여기서부터가 과학의 정말 흥미로운 지점입니다. 이 수열 1/2 + 1/4 + 1/6 + … 은 수학 세계에서 ‘조화급수’의 일종으로 알려져 있는데, 이 합은 무한히 커질 수 있음이 증명되어 있습니다. 즉, 이론상으로는 무한히 많은 책을 쌓는다면 어디까지나 멀리 삐져나오게 할 수 있는 것입니다!

자, 이제 직접 실험해 봅시다!

이론을 알았으니 직접 해보고 싶어지셨죠? 같은 크기와 무게의 책이나 나무토막을 사용하는 것이 성공 비결입니다. 우선 두툼한 나무토막으로 시도해 봤습니다.

다음은 책으로 도전해 봤습니다.

우선 기본인 ‘절반 밀기’. 이건 쉽네요!

다섯 권에 도전. 계산대로 아래로 갈수록 밀어내는 길이를 짧게 하는 것이 포인트. 아슬아슬한 경계를 노리는 게 어렵지만, 그게 또 묘미죠!

어떻게든 여기까지 성공! 숨을 참고 살포시 내려놓는 집중력이 필요합니다.

나무토막으로도 다시 도전해 보았습니다. 책보다 안정적이라 더 높이 쌓기 좋을지도 모릅니다.

언뜻 보기에 신기한 현상도 ‘무게중심’이나 ‘힘의 모멘트’라는 물리 지식을 활용하면 그 원리를 명쾌하게 풀 수 있습니다. 균형의 한계를 알아가는 것은 물리 법칙을 몸소 체험할 절호의 기회입니다. 꼭 집에 있는 책이나 블록으로 이 신비로운 타워 만들기에 도전해 보세요!

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