어려운 교류 회로가 한눈에 이해된다! 삼각함수 합성을 애니메이션으로 풀어보기 (스크래치)

사이언스 트레이너 쿠와코 켄입니다. 매일매일이 실험입니다.

우리 생활을 지탱해 주는 전기. 그 속에 흐르는 교류의 세계는 사실 여러 파동이 겹쳐서 만들어집니다. 스마트폰이나 가전제품 속에 들어 있는 RLC 회로라는 복잡한 미로를 풀 열쇠는 수학의 삼각함수 합성 공식 속에 숨겨져 있습니다. 하지만 교과서에 적힌 수식만 바라봐서는 그 정체를 파악하기가 쉽지 않죠. 이번에는 눈에 보이지 않는 전기의 움직임을 시각적으로 이해하기 위해, 제가 직접 만든 애니메이션과 함께 수학과 물리가 연결되는 감동의 순간을 전해드리겠습니다!

전기 세계의 해결사, 삼각함수의 합성 공식

교류 이론의 RLC 회로(저항, 코일, 축전기를 조합한 회로)를 배울 때, 직렬이나 병렬 연결 계산에서 반드시 마주치게 되는 것이 바로 삼각함수의 합성입니다. 이 공식이 어떻게 유도되는지, 도형적으로 어떤 의미가 있는지 모른 채 공부하다 보면 “왜 갑자기 이런 계산을 하는 거지?”라며 길을 잃기 쉬운 분야이기도 합니다.

먼저 기본이 되는 공식을 살펴봅시다. 물리 수업에서 자주 쓰이는 형태에 맞춰 각도 부분을 ωt(오메가 티)로 표현해 소개합니다.

삼각함수의 합성 공식

수식 속에 숨겨진 회전의 정체

이 수식이 대체 무엇을 나타내는지 도형으로 생각해 봅시다. 일반적인 사인파(sinωt)와 비교해 보면 그 재미가 확연히 드러납니다.

의 도형적 의미

이 그림을 보면 합성된 파동의 정체는 반지름 r로 빙글빙글 도는 벡터의 그림자라는 것을 알 수 있습니다. 시작점(초기 위상)이 α만큼 어긋난 상태에서 회전을 시작하는 사인파라는 이미지죠. 수학 교과서에 있는 정지된 그림으로는 떠올리기 힘든 이 움직임을 애니메이션으로 만들어 보았습니다! 수식이 어떻게 파동의 형태를 만들어내는지 직관적으로 이해하실 수 있을 거예요.

여기에서 확인해 보세요.

https://scratch.mit.edu/projects/303808808/

또한, 영상으로도 해설을 보실 수 있습니다.

한 걸음 더! 공식이 탄생하는 수학적 스토리

왜 이런 합성 공식이 성립하는 걸까요? 그 이면에는 중학생 때 배우는 피타고라스의 정리나 코사인 법칙 같은 수학적 도구들이 활약하고 있습니다.

＜참고＞ 삼각형의 합성 공식 유도

위 그림으로부터

따라서,

여기서 코사인 법칙

을 사용하면,

가 됩니다.

이처럼 언뜻 복잡해 보이는 물리 현상도 차근차근 풀어보면 아름다운 수학적 규칙으로 기록되어 있습니다. 교류 회로라는 무미건조해 보이던 세계가 조금이라도 친근하고 즐겁게 느껴지셨다면 좋겠습니다.

사인과 코사인의 관계에 대해서도 아래 기사를 참고해 보세요.

https://phys-edu.net/wp/?p=33077

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