鉛直ばね振り子と単振動の切っても切れない関係【微積を使おう!】


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高校物理と微分積分

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回は前回に引き続き、ばねの単振動について考えてみたいと思います。

鉛直ばね振り子について

鉛直につるしたばね振り子の運動の様子について見て行きましょう。次の図のようにばねを天井からつるして、もう片方におもりをつけます。

このときに物体にはたらく力は、下向きの重力と上向きの弾性力になるので、ある長さxの位置での運動方程式は下向きを正として次のように表すことができます。

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前回導いたように、-定数×変位の形になっていれば、単振動をするということが言えますが、この場合は、右辺は重力の項mgがついていて、-定数×変位の形になっていないため、単振動をするかどうかはわかりません。

またおもりのつりあいの場所におけるばねの長さをy0と置くと、力のつりあいから次のようにして、求めることができます。

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この式を邪魔であった上の式のmgのところに代入してみましょう。

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となりました。ここでy-y0をYとすれば、

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となり、-定数×変位の形になりましたので、この運動も単振動をするということになります。

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ちなみにYが0のときが振動の中心になるので、そのときにyの値はy-y0=0なので、y=y0です。ということで、次の図のように自然の位置を中心とした単振動をするということになります。

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ここで、Yをyで表せば、

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となることからも、単純にy0の分だけ、振動の位置がずれているということがわかりますね。

このようなことから、鉛直ばね振り子等の定数がついた場合については、釣り合いの位置での単振動と考えてとくことができるのですね。

力学的エネルギーの保存の2つの表記法

単振動の問題を解く場合には、よく学校で「重力による位置エネルギーは入れないように!」というような指導を受けるかもしれません。受験テクニックの一つとして覚えるといいのかもしれませんが、なぜそういうことをしていいのか?ということについては、抑えておく必要があるでしょう。

ということで、運動方程式を積分することで、力学的エネルギーについて見て行きたいと思います。

両辺にv=dy/dtをかけます。

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時間で積分します。

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運動エネルギー+弾性エネルギー-位置エネルギー=定数

※ Cは積分定数

となります。これは力学的エネルギーの保存を示します。位置エネルギーが負になっているのは、今回の単振動の原点を自然長でとっているためです。

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このように一般的にといていくと、力学的エネルギーの保存の中には、位置エネルギーの項が入ってくるので、しっかりと位置エネルギーを考えなければいけません。

しかし、今回の運動は「つり合いの位置」を基準とした単振動をすることがわかりましたよね。単振動は、運動エネルギーと弾性エネルギーの2つのエネルギーのやりとりなので、位置エネルギーは考える必要はありないはずです。というわけでつり合いの位置をうまく使って、上の式を書きなおしてみましょう。

つり合いの位置は、ky0=mgだったので、

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y-y0=Yとおいたことから、

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運動エネルギー+弾性エネルギーのようなもの=一定

というようになります。Yはつり合いの位置を原点としたときの長さを表しますので、つり合いの位置を基準とすれば、この式をつかってもよいということになります。

「弾性エネルギーのようなもの」という表記にしましたが、この1/2kY^2という項は実はこの中に位置エネルギーが含まれているので、「のようなもの」という表現にしました。ここに注意をしましょう。

間違えやすいところなので、比較をしておくと、

<原点が自然長とした場合>

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運動エネルギー+弾性エネルギー+-位置エネルギー=一定

<原点をつり合いの位置とすると特別な式になる>

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運動エネルギー+弾性エネルギーのようなもの=一定

となります。気をつけておきましょうね(^^)

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