これならできる!微積で単振動を導いてみよう!


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高校物理と微分積分

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回はばねの単振動について考えてみたいと思います。

バネの振動の様子を微積で考えてみよう!

ばねにはたらく力はフックその法則からF=−kxと表すことができます。ここでなぜマイナスがつくのかというと、xを変位とすると、バネが伸びてxが正になると力Fが負に、ばねが縮んでxが負になるとFが正となるように、常に変位と力の向きが逆向きにはたらくためです。

キャプチャ

 このことか運動方程式は微分表記を使って次のように書くことができます。

キャプチャ2

なお速度と加速度の定義式、a=dv/dt, v=dx/dtをつかっています。

単振動になる理由とは?

それでは、ここからボールの動きについて、なぜ単振動になるのかを微積分を使って考えてみましょう。両辺にdx/dtをかけると次のように表すことができます(これは積分をするための下準備でテクニックだと思ってください)。

キャプチャ3

ここでdx/dt=v, d2x/dt2=dv/dtなので、

キャプチャ4

両辺を時間で積分すると、

キャプチャ5

※Cは積分定数

このようになります。これは力学的エネルギーの保存を示していて、運動エネルギーと弾性エネルギーの和が一定であることを示しています。

キャプチャ6

運動エネルギー+弾性エネルギー=一定

 ここでバネの振幅をAとすると、上記の積分定数Cは1/2kA2と表しても良いですよね。

キャプチャ7

この式をさらにおしすすめて、ここから変位xの様子について調べてみましょう。

まずは速度vについて常識を展開します。キャプチャ9

速度vを微分表記dx/dtになおして、変数分離をします。

キャプチャ10

この式の両辺を時間tで積分をします。

キャプチャ11

このまま眺めていてもうまくいかないのですが、ここで変位xをx=Asinθと置いてみましょう。すると、この微分方程式をとくことができます。

では置いて解いてみましょう。

<左辺>

まず左辺の1/(√A2−x2)の部分は次のようになります。

キャプチャ12

ここでx=Asinθに置き換えると、

キャプチャ13

ここでは、次の積分公式を使っています。これらの公式は昨日の記事にまとめましたので、もし公式を忘れてしまったという人は、そちらも御覧ください

キャプチャ14

上の式を解いていくと、

キャプチャ15

となります。

<左辺と右辺を合わせてみる>

右辺と合わせて考えると、

キャプチャ16

※δは積分定数

 となります。このことから、先ほどおいたx=Asinθに代入をすると、

キャプチャ17

ここでAsin(θ+δ)=Asin(−θ+δ+π)となり、δ+πは定数なので積分定数δ’に入れてしまうことができます。このことから、頭についている±や√の手前についている±を積分定数の中に入れてしまうと、もっと簡単に上の式を表すことができます。

キャプチャ18

※δ’は積分定数

 この式を見ると、Aは振幅を、δ’は初期位相を示し、時刻0のときの右辺が初期位置x0となります。この式をグラフにすると、

キャプチャ19

となります。このようにして単振動となることが示されました。

<周期の公式についても求めてみよう!>

また1回振動するのにかかる時間を周期Tとすると、1周期たつと2πとなることから、

キャプチャ20

と表すことができます。これを周期Tについて解くと、

キャプチャ21

となります。単振動の速度は、上記の式を時間で微分すれば、加速度はもう一度微分すれば求めることができます。

いかがでしたでしょうか(^^)。

学校では微積を使わない方法で解いていますが、微積を使って解くと、初期位相がでてきて面白いですね!次回はこの結果を使って、鉛直につるしたバネ振り子や、電気振動などについて考えていきたいと思います。

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