微積でコンデンサーの電荷のたまり方を見てみよう!

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高校物理と微分積分

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回はコンデンサーに充電するときの電気量のたまる様子について考えてみたいと思います。前回の放電をする様子と比較しながら、読み進めてください。

コンデンサーを充電してみよう!

コンデンサーをE[V]の電池で充電する場合について考えてみましょう。

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この場合、キルヒホッフの第二法則を使うと、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.34

このように表記できます。微分記号を使って電流を表すと、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.37

となります。ここでコンデンサーにたまる電気量Qは増加するので、dQ/dtは正となります。dQとQに着目をして、変数分離しましょう。

 

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  この両辺を時間tで積分をすると、

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※C’は積分定数

 一般解は、

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Qははじめ0からスタートするはずなので、CE > Qということが言えます。よって、絶対値をとると、

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.00

ここで、時刻t=0のときのコンデンサーの電気量を0[C]とすると、積分定数C’は、

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.04

この条件を代入すると、

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このようにコンデンサーにたまる電気量は表されました。tを無限にすると、数式をみてわかるようにQ=CEとなります。これをグラフにしてみましょう。

これがコンデンサーの充電過程の電気量の様子です。

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いかがでしたでしょうか。高校物理では充電された状態だとか、電流を流した直後のとか、時刻0や無限大のところは問われますが、この間の部分について考える事が出来ましたね(^^)

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プロフィール

桑子 研
桑子 研(くわこけん) 1981年群馬県生まれ。共立女子中学高等学校の理科教諭を務めるかたわら、サイエンストレーナーとして全国で実験教室やICT活用講演会を開いている。著書は『大人のための高校物理復習帳』(講談社)、『きめる!物理基礎』(学研)など科学啓蒙書・参考書・絵本など10冊。東京書籍の教科書編集委員・ナリカサイエンスアカデミー公認講師。

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