微積でコンデンサーの電荷のたまり方を見てみよう!


1fc1374b09b540b681bf164207357ed5_s

高校物理と微分積分

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回はコンデンサーに充電するときの電気量のたまる様子について考えてみたいと思います。前回の放電をする様子と比較しながら、読み進めてください。

コンデンサーを充電してみよう!

コンデンサーをE[V]の電池で充電する場合について考えてみましょう。

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.29

 

この場合、キルヒホッフの第二法則を使うと、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.34

このように表記できます。微分記号を使って電流を表すと、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.37

となります。ここでコンデンサーにたまる電気量Qは増加するので、dQ/dtは正となります。dQとQに着目をして、変数分離しましょう。

 

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.42

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.46

  この両辺を時間tで積分をすると、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.50

※C’は積分定数

 一般解は、

スクリーンショット 2015-08-06 11.17.56

Qははじめ0からスタートするはずなので、CE > Qということが言えます。よって、絶対値をとると、

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.00

ここで、時刻t=0のときのコンデンサーの電気量を0[C]とすると、積分定数C’は、

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.04

この条件を代入すると、

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.08

このようにコンデンサーにたまる電気量は表されました。tを無限にすると、数式をみてわかるようにQ=CEとなります。これをグラフにしてみましょう。

これがコンデンサーの充電過程の電気量の様子です。

スクリーンショット 2015-08-06 11.18.14

いかがでしたでしょうか。高校物理では充電された状態だとか、電流を流した直後のとか、時刻0や無限大のところは問われますが、この間の部分について考える事が出来ましたね(^^)

ご質問はありませんか?お答えします。

・ご感想・ご質問はこちらまでどうぞ。ブログにて回答させていただきます。

科学のネタから出た本はこちらです。運営者に関してはこちらからどうぞ。

・メールマガジンはブログでは載せられない情報を配信しています。


 

・フェイスブックやツイッターでは更新情報を配信しています。


動画授業をはじめました。


[adsense]