なぜ電流を積分すると電気容量が求められるのか?微積で物理!


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高校物理と微分積分

高校物理の検定教科書では微積を使わないで説明がなされています。数学の進度の関係もあるため、そのようになっていますが微積をつかって考えたほうがスッキリとわかりやすく説明できることも数多くあります

このコーナーでは微積を使ったほうが良い範囲について、ひとつひとつ説明をしていこうと思います。今回はコンデンサーの電気のたまり方について、考えてみようと思います。

電流からコンデンサーの電気容量を調べてみよう

未知のコンデンサーの電気容量を調べるときに、コンデンサーをまず充電して、その後電荷を放電しながら、それぞれの時間で電流がどれだけ流れていたかを測定します。その値に測定間隔の時間をかけて足し合わせること(積分する)によって、コンデンサーにたまっていた電気量がわかり、電気容量を調べることができます。

なぜこのようなことができるのか、今回は微積分を使って考えてみたいと思います。まず次の図のように、コンデンサーに電荷をある電圧Vでためたあとに、放電をしている様子を考えてみましょう。

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コンデンサーの両端の電圧をV、抵抗の大きさをRとすると、キルヒホッフの第二法則から、

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となります。コンデンサーの電気容量をC、あるときのコンデンサーにたまっていた電気量をQとすると、Q=CVより、

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となります。ここで電流の定義式I=dQ/dtを使います。抵抗に流れる電流は減少をしていることに注意をすると、このときの電流はコンデンサーから回路に流れた電流dQを使って、I=−dQ/dtとなります(マイナスがつくのは、減少をしているため)。

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R、Cは定数なので、変数分離を行うと、

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時間tで積分をすると、

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Cは積分定数です。時刻0のとき、つまり初期状態でコンデンサーに電気量がQ0たまっていたとすると、積分定数eCはQ0となります。よって、

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となります。この様子をグラフにすると、

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これがコンデンサーにたまった電気量が減っていく様子です。電気量Qを直接測ることは難しいので、このときの電流変化を求めてみましょう。電流の定義式から、電気量の式を時間で微分してましょう。

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電流の大きさのみをグラフにすると、

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ここで電流が囲む面積、t=0からt=∞まで積分して、求めてみます。

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このことからもわかるように、各時間に流れた電流と、測定時間とで囲まれた面積を積み上げていくと、コンデンサーにたまっていた電気量Q0を求めることができることがわかりました。充電していたときの電圧V0を使えば、Q0=CV0からコンデンサーの電気容量を求めることができるというわけです。

実際に実験をやると、入れる抵抗によっては、電荷の放出時間が短すぎて、電流値の測定が困難なときがあります。そのようなときには抵抗値の大きさを大きくしてみると、放出時間が長くなります。数式をつかってたしかめてみましょう。例えば抵抗値Rの大きさを例えば2倍にしてみると、流れた電流の大きさは、

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グラフをかいて、Rの場合と2Rの場合を比較してみましょう。

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2Rの場合のほうが、変化がゆるやかになり、長い時間をかけて放出することがわかりますね。このため実験をしたときに電流を測りやすくなります。このときの面積は当たり前ですが、充電した量は変えていないので、先ほどの面積と同じQ0になっているはずです。計算をしてみましょう。

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同じになりました(^^)。

以上、微積分を使ったコンデンサーの電気量の変化のお話でした。高校物理ではこの変化をする前後のお話はでてきますが、なかなか間のお話はでてきません。でも、知っておくとすっきりする範囲かと思います!

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