雨が降ってきたなぁ。そうだ微積分の出番だ!(微積10)


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前回雨の速度はなぜ一定になるのか?について、
微積分を使った解説を載せましたが、次のような質問がきました。

Q「雨粒が初速度0で落下するとして、雨の落下のv−tグラフはわかりましたが、加速度の様子(a-tグラフ)はどうなるのでしょうか?」

今回はこの質問にお応えしたいと思います。

まず、イメージとして見てみたいと思います。前回、空気抵抗のある
雨粒の様子は次のように表されることをしめしました。

スクリーンショット 2015-07-17 9.15.14

スクリーンショット 2015-07-10 13.18.36

もし初速度v0がない場合には、次のような数式とグラフになります。

スクリーンショット 2015-07-18 0.48.00

スクリーンショット 2015-07-18 0.46.27

このグラフの様子から、加速度はどのようになっていると思いますか?

まずはイメージをしてみて欲しいと思います。初速度v0で落下した雨粒は、
初めは急激に速度が変化していき、徐々にゆるやかに速度が変化して、いつかは一定になります。

このため、加速度がはじめは大きく減少し、少しずつなだらかに減っていき、最後に0になるような、
そんなグラフが予想されますね。

それでは実際にそうなるのかについて、数式をといて考えてみましょう。

加速度は速度の時間微分なので、速度を微分してみましょう。

スクリーンショット 2015-07-18 0.48.06

すると、時刻0のときの加速度はgとなりますね。これは空気抵抗がまだはたらかないので、重力加速度gで落下をするという意味を表します。その後徐々に速度が減っていくことがわかりますね。グラフにしてみると、

スクリーンショット 2015-07-18 0.50.18

このような感じになります。これが加速度のa-tグラフです。

ちょっとしたことですが、微積を使うと、イメージとも一致して面白いですよね(^^)

微積も少しずつ使ってみましょう!

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