簡単攻略!東大物理2015と非等速円運動[第1問(2)(3)]


東大=難しい!ではなく、教科書の内容で解けるんです!

今日は昨日に引き続き、東大物理2015の(2)からはじめていきます。今回の問題は、非等速円運動の定番問題。東大だからといって、手強い!というわけでもなさそうです。

はじめての方はこちらから御覧ください。 問題はこちらの代々木ゼミナールのサイトから御覧ください。

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第1問 (2)

(2) 最下点にきたときの張力を求めるためには、最下点での運動方程式を作れば良いことがわかります。最下点でこの物体にはたらく力は、次の図のように張力Tと重力mgです。

スクリーンショット 2015-03-28 7.16.26

 運動方程式を作ると、

ma = T − mg

 となり、T – mgが円運動をするために必要な向心力になります。また円運動の加速度はスクリーンショット 2015-03-28 7.32.30とあらわすことができるので、最下点の速度をv’とすると、

スクリーンショット 2015-03-28 7.32.24

 となります。rは紐の長さLなので、もしvがわかれば、Tを求めることができますね。そこでvを求めていきましょう。これは(1)と同様に、エネルギーの保存を考えていけば、解くことができます。

②の場所を位置エネルギーの基準とすると、

 

①の力学的エネルギー

mgL

位置エネルギー

 

②の力学的エネルギー

スクリーンショット 2015-03-28 7.33.13

運動エネルギー

 となります。またこの運動の前後で外力となる張力は仕事をしません。エネルギーの保存の式を作ると、

スクリーンショット 2015-03-28 7.33.32

①力学的エネルギー + 仕事 = ②力学的エネルギー

 これを速度v’について解くと、スクリーンショット 2015-03-28 16.52.52となります。このv’を式Aに代入すると、

スクリーンショット 2015-03-28 7.32.24

スクリーンショット 2015-03-28 7.33.38

 これをTについて解けば、T=3mgとなります。

ポイント!

この問題は運動方程式と力学的エネルギーの保存を組み合わせてといてく、非等速円運動では定番の問題です。似たような問題で練習をしておきたい問題は、なめらかな円形の斜面をボールが進んでいき、水平面に突入するような問題です。

この円形の斜面と水平面に接続する前後で垂直抗力の大きさが瞬間的に変わります。突入する前は垂直抗力が大きく、突入後は物体の重力のぶんだけ必要になる(N=mg)ということがポイントで、今回の問題と同じように運動方程式と力学的エネルギーの保存をつかって解いていきます。

(3)

この問題は(2)が解ければ楽勝ですね!最下点での円運動の加速度は、公式スクリーンショット 2015-03-28 17.23.14に最下点の速度スクリーンショット 2015-03-28 17.23.18を代入すれば良いので、

スクリーンショット 2015-03-28 17.23.40

 となります。

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